Có \(BH\perp AC\). (1)
\(\widehat{ADC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vì vậy\(AC\perp DC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH//DC. (3)
Tương tự HC//BD (vì cùng vuông góc với AB). (4)
Từ (3);(4) suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Do O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\).
Do M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HD}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\).
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\)
\(=3\overrightarrow{HO}+2\overrightarrow{HO}=2\left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OH}\right)+\overrightarrow{HO}\)
\(=2.\overrightarrow{0}+\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HO}\).
c) Ta có:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)\(=3\overrightarrow{OG}\) (theo tính chất trọng tâm tam giác). (5)
Mặt khác theo câu b)
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\). (6)
Theo (5) và (6) ta có: \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\).
Suy ra ba điểm O, H, G thẳng hàng ( đường thẳng Ơ-le).

a) Mình nghĩ tam giác ABC nhọn?

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo định lý về khoảng cách từ trực tâm đến một điểm và khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện, ta có AH = 2OM.

Mà AH // OM (Do cùng vuông góc với BC)

Nên \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}\).

Ta có: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AH}\).

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}\left(đpcm\right)\)

c) O, G, H thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC :v

b) Ở câu a ta đã chứng minh:

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).

Tương tự: \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

Cộng vế với vế ta có: \(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH}=2\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{OH}\) (câu a).

Đổi dấu hai vế ta có đpcm.